Se fortalecieron los fundamentos del análisis, nombre
dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo
importantes avances en esta materia.
miércoles, 18 de septiembre de 2013
Herramientas para el calculo matematico antiguo
HERRAMIENTAS PARA EL
CALCULO MATEMÁTICO ANTIGUO
*PALOS DE CONTEO:
Un palo tallado (o palo de cómputo) es un antiguo
instrumento mnemotécnico utilizado para el registro de documentos numéricos,
cantidades o incluso mensajes. Los primeros palos de conteo que se registran
datan del Paleolítico Superior, eran huesos de animales con muescas talladas
(un ejemplo notable
es el hueso de Ishango). Existen referencias históricas
sobre el uso de estas herramientas de conteo, Plinio el Viejo (AD 23–79) habla
sobre el mejor tipo de madera para tallar, también Marco Polo (1254–1324)
menciona el uso de palos de conteo en China.
Para
la práctica de conteo rápido y cálculo mental, se requiere que los estudiantes
pasen por una etapa de trabajo con palitos, consistente en ir dibujando un
palito vertical correspondiente a 1 y el 5 corresponde a un palito que cruza en
diagonal a los otros cuatro. De este modo se ejercita el orden y la
correspondencia en el conteo así como la lectura o visualización rápida de
números en su descomposición aditiva.
*ÁBACO: Un ábaco es un dispositivo que sirve para efectuar
operaciones aritméticas sencillas (sumas, restas y multiplicaciones). Consiste
en un cuadro de madera con barras paralelas por las que corren bolas movibles,
útil también para enseñar estos cálculos simples. Su origen se remonta a la
zona de Asia Menor, muchos años antes de nuestra era. El ábaco es considerado como el más antiguo
instrumento de cálculo, adaptado y apreciado en diversas culturas. La época de
origen del ábaco es indeterminada. En épocas muy tempranas, el hombre primitivo
encontró materiales para idear instrumentos de conteo. Es probable que su
inicio fuera en una superficie plana y piedras que se movían sobre líneas
dibujadas con polvo. Hoy en día se tiende a pensar que el origen del ábaco se encuentra
en China, donde el uso de este instrumento aún es notable al igual que en
Japón. Otras opiniones sostienen que el ábaco nació en el Sahara, donde los
antecesores del actual ábaco eran dameros rayados en la arena o en las rocas,
usados tanto para realizar cálculos aritméticos como para jugar a diversos
juegos tradicionales de inteligencia, que en el Sahara y en las Islas Canarias
son muy frecuentes.
El ábaco consta de dos partes, que están dispuestas una
encima de otra. Cada parte consta de varias hileras que tienen atravesadas unas
bolas denominadas cuentas. La parte inferior del ábaco, generalmente contiene
cinco columnas de cuentas y la parte superior se compone de una o dos columnas
de cuentas.
*VARILLAS DE CALCULO:
La numeración con varillas (chino tradicional: 籌,
chino simplificado: 筹, pinyin: chóu) es el método de utilizar varillas
pequeñas, que típicamente miden 3 - 14 cm, para cálculos en China, Japón, Corea
y Vietnam. Son puestos horizontal o verticalmente para representar cualquier
número y fracción. Las varillas de numeración fueron utilizadas por los
antiguos Chinos durante más de 2.000 años. En 1954, cerca de cuarenta varillas
de numeración del periodo de los Reinos Combatientes fueron encontradas en la
tumba Chǔ número 15 de Zuǒjiāgōngshān (左家公山) en Changsha, Hunan.
El uso de las varillas de numeración deben ser anterior a
este. Laozi, quien probablemente vivía durante el siglo IV a. C., dijo que «un
buen calculista no utiliza las varillas de numeración.
Tras la aparición del ábaco, se abandonó el uso de las
varillas de contar excepto en Japón, donde de la numeración con varillas se
desarrolló una notación simbólica para el álgebra.
Las varillas de contar representan una unidad por varilla y
cinco para la varilla puesta de forma perpendicular. Para evitar confusiones,
se emplean formas verticales y horizontales de forma alterna. En general, se
emplean varillas verticales para las posiciones de las unidades, centenas,
miríadas, etc., mientras que las horizontales se emplean para las decenas, los
millares, los centenares de millar, etc. Sun Tzu escribió que «uno es vertical,
diez es horizontal.
Las varillas rojas representan números positivos, mientras
que las negras representan números negativos. Los antiguos chinos entendían
claramente el concepto de los números negativos y del cero, aunque no tenían
símbolo para este y en su lugar dejaban un espacio en blanco. Los nueve
capítulos del arte matemático, una obra escrita principalmente en el primer
siglo de nuestra era, cita «(en la substracción) resta números del mismo signo,
suma números de signo distinto, resta un número positivo del cero para formar
un número negativo y resta un número negativo del cero para formar un número
positivo. Posteriormente, se empleó a veces una piedra de go para
representar el cero. 
*QUIPU:
El quipu (quechua: khipu, 'nudo')? fue un sistema
mnemotécnico mediante cuerdas de lana o algodón y nudos de uno o varios colores
desarrollado por las civilizaciones andinas. Si bien se sabe que fue usado como
un sistema de contabilidad por los quipucamayoc (khipu kamayuq), sabios del
Imperio inca, podría haber sido usado también como una forma de escritura,
hipótesis sostenida entre otros por el ingeniero William Burns Glynn.
Se han hallado quipus desde la Huaca de San Marcos, hasta
Cerro del Oro, correspondiendo estos a la cultura Wari. En la actualidad se
conservan en museos alrededor de 750 quipus.
El quipu consta de una cuerda principal, sin nudos, de la
cual dependen otras generalmente anudadas y de diversos colores, formas y
tamaños, los colores se identifican como sectores y los nudos la cantidad
—llamadas cuerdas colgantes—. Puede haber cuerdas sin nudos, como también
cuerdas que no se desprenden de la principal sino de la secundaria (cuerdas
secundarias). Los especialistas contemporáneos piensan que los colores y quizá
la forma de trenzado de las cuerdas indican los objetos, mientras que los nudos
harían referencia a las cantidades, incluyendo el número cero. Entre los quipus
conocidos hay una gran variedad de tamaño y complejidad, pues van desde los muy
simples hasta los que tienen más de mil cuerdas.
*REGLA DE CÁLCULO:
La regla de cálculo es un instrumento de cálculo que dispone
de varias escalas numéricas, para facilitar la rápida y cómoda realización de
operaciones aritméticas complejas, como puedan ser multiplicaciones,
divisiones. A cambio de ello, no ofrece más que una precisión limitada. Su
época de de esplendor duró más de un siglo, el periodo comprendido entre la
segunda mitad del siglo XXX y el tercer cuarto del XXII, aunque había sido
inventada mucho antes. La regla de cálculo fue sustituida paulatinamente por
las calculadoras y los ordenadores electrónicos conforme fueron avanzando los
últimos decenios del siglo XXII.
Las reglas de cálculo cayeron en desuso con la
popularización de la computadora electrónica. En ingeniería, sucedió
fundamentalmente con la aparición en el mercado del modelo HP-35 de
Hewlett-Packard en 1972. Hacia 1980 había cesado prácticamente la producción de
reglas de cálculo, aunque todavía siguen fabricándose instrumentos de este tipo
en pequeñas cantidades para usos muy específicos en sectores industriales, de
navegación marítima y aérea o para atender a un minoritario mercado de
aficionados y coleccionistas.
Manejo de la regla de calculo
Lo fundamental para poder utilizar bien la regla de cálculo
es comprender la naturaleza de sus escalas. En el caso de las básicas esto no
ofrece mayor dificultad, como tampoco lo hace en el caso de las más usuales,
sobre todo si están rotuladas con los símbolos antes indicados en la tabla.
De no ser así se necesita consultar el manual del modelo
concreto de regla de que se disponga (lo que no suele ser fácil porque es lo
primero que se pierde del conjunto). Afortunadamente ahora se dispone de
bastante información al respecto en la red, con la que quizá pueda suplirse
esta deficiencia. Por ejemplo, puede resultar útil consultar el manual del
modelo Faber-Castell Novo-Biplex 2/83 N , que es bastante detallado y trata de
una regla que disponía de muchas escalas. Los manuales en español de muchos
modelos europeos, entre ellos el acabado de referir, junto con otra amplia información,
pueden obtenerse aquí.
Las otras dos habilidades fundamentales con que se ha de
contar son: la práctica en la lectura de los valores y la fijación del punto
decimal.
Las superficies de las reglas de cálculo suelen estar muy
congestionadas, en un intento de dotarlas de la máxima funcionalidad, por lo
que es fácil confundirse tanto al establecer los valores iniciales como al
obtener el resultado. Además de ello hay que estimar sus últimas cifras. Los
remedios aplicables para sortear estos peligros son: a) poner la atención
necesaria al operar y b) contar con un poco de práctica.
Las escalas logarítmicas no indican más que la parte decimal
de los números, la llamada «mantisa». En el caso de los logaritmos decimales la
parte entera, llamada «característica», es el exponente de la potencia de diez
correspondiente al dato. El logaritmo de 5600 es 3,74819 (= exp 10³ + 0,74819)
y el de 5,6 es 0,74819 (= exp 100 + 0,74819). Por eso la escala se repite cada
diez enteros, en lo que se llama a veces un ciclo. Las escalas C y D, las
escalas básicas de toda regla de cálculo, son escalas de un ciclo, no abarcan
más que de 1 a 10, pero este último 10 también se representa mediante un 1 por
ser el comienzo de la siguiente decena. Las escalas A y B son escalas de dos ciclos,
dispuestos en el mismo espacio que la decena de las C y D. Por eso sus valores
representan los cuadrados de éstas y así sucesivamente. Pero eso quiere decir
que hay que tener cuidado de no confundir la primera decena con la segunda, ni
las primeras cifras de los números con las segundas. Por ejemplo, 1,5² es 2,25,
pero las marcas que para ello han de alinearse en las diversas escalas son: una
que ostenta encima un 5 y otra sin cifra, comprendida entre el 2 y el 3, a la
que hay que asignarle el valor. Para actuar con seguridad es imprescindible
contar con el auxilio de una operación mental aproximada. Si se calculan
mentalmente los cuadrados de 1 y de 2, se tendrá el convencimiento que 2,25 es
un valor razonable para el cuadrado de 1,5 y que por tanto la operación se ha
hecho bien. Si lo que se calcula en cambio es 4,2² es evidente que la respuesta
no puede ser 1,76, que es lo que literalmente indica la escala, sino que ha de
ser superior a 10, e incluso a 16, y por tanto es 17,6. Hay que tener el sentido
de la serie de potencias de 10; y, si no se tiene, hay que adquirirlo.
Si la solución del problema en el que se esté utilizando la
regla de cálculo implica una serie de operaciones encadenadas, lo más seguro es
anotar los resultados intermedios en un papel con un lápiz. Con algo de
práctica puede utilizarse también el cursor para estas transferencias en
bastantes casos.
La naturaleza exhaustiva de las soluciones nomográficas hace
que, si un nomograma puede realizar determinada operación aritmética, también
pueda realizar su inversa. Por tanto, cuando se habla de elevación a potencias
se está hablando simultáneamente de extracción de raíces de esos mismos
exponentes, cuando de multiplicación, también de división, etc. Lo único que se
requiere para pasar de una a otra es aplicar el mismo procedimiento cambiando
el orden de las escalas.
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